Das Mehrband-Hubbard-Modell gehört zu den zentralen theoretischen Modellen zur Beschreibung stark korrelierter Elektronensysteme, bei denen mehrere elektronische Orbitale oder Energiebänder gleichzeitig an den relevanten physikalischen Prozessen beteiligt sind. Es erweitert das klassische Hubbard-Modell, das lediglich ein effektives Orbital pro Gitterplatz betrachtet, um zusätzliche orbitale Freiheitsgrade und die zwischen ihnen auftretenden Wechselwirkungen.
Diese Erweiterung ist für zahlreiche reale Materialien unverzichtbar. In vielen Übergangsmetalloxiden, Eisen-basierten Supraleitern, Ruthenaten, Nickelaten und anderen Quantenmaterialien liegen mehrere elektronische Zustände energetisch so dicht beieinander, dass eine Einbandbeschreibung wesentliche Teile der Physik nicht erfassen kann. Elektronen können sich dann nicht nur zwischen Gitterplätzen bewegen, sondern auch unterschiedliche Orbitale besetzen, zwischen ihnen hybridisieren und über Coulomb- und Austauschwechselwirkungen miteinander koppeln.
Das Ergebnis ist eine deutlich reichhaltigere Vielteilchenphysik. Neben gewöhnlichen Mott-Isolatoren können orbital-selektive Mott-Zustände, Hund-Metalle, komplexe magnetische Ordnungen, Orbitalordnung und unterschiedliche supraleitende Zustände auftreten.
Vom Einband- zum Mehrband-Hubbard-Modell
Das gewöhnliche Hubbard-Modell reduziert die elektronische Struktur eines Festkörpers auf zwei konkurrierende Prozesse: die Bewegung der Elektronen durch das Kristallgitter und die lokale Coulomb-Abstoßung zweier Elektronen auf demselben Gitterplatz. Sein Hamiltonoperator kann schematisch als
\(H = H_{\mathrm{kin}} + H_{\mathrm{int}}\)
geschrieben werden.
Bereits dieses scheinbar einfache Modell erzeugt eine komplexe Vielteilchenphysik. Das Mehrband-Hubbard-Modell geht jedoch einen entscheidenden Schritt weiter. Jeder Gitterplatz besitzt nun mehrere elektronische Orbitale. Dadurch entstehen zusätzliche Bewegungs- und Wechselwirkungsprozesse: Elektronen können zwischen verschiedenen Orbitalen wechseln, unterschiedliche Orbitale können verschiedene Bandbreiten besitzen, und lokale Elektronen erfahren neben der gewöhnlichen Hubbard-Wechselwirkung auch interorbitale Coulomb-Wechselwirkungen und Hundsche Austauschkopplungen.
Das Mehrband-Hubbard-Modell ist deshalb weniger ein einzelner exakt festgelegter Hamiltonoperator als vielmehr eine Modellklasse. Welche Orbitale, Hopping-Prozesse und Wechselwirkungsterme berücksichtigt werden, hängt vom untersuchten Material oder Quantensystem ab.
Bedeutung für die Quantentechnologie
Für die Quantentechnologie ist das Modell aus mehreren Gründen relevant. Es dient als theoretische Grundlage für die Untersuchung korrelierter Quantenmaterialien, als Testproblem für klassische Vielteilchenverfahren und zunehmend als Zielmodell für analoge und digitale Quantensimulationen. Besonders interessant ist die Frage, ob Quantencomputer zukünftig Parameterbereiche von Mehrband-Hubbard-Modellen untersuchen können, die klassischen numerischen Methoden nur schwer zugänglich sind.
Seine eigentliche Bedeutung liegt jedoch nicht darin, dass es für Quantencomputer entwickelt wurde. Es ist zunächst ein fundamentales Modell der Festkörper- und Vielteilchenphysik. Seine Rolle innerhalb der Quantentechnologie ergibt sich daraus, dass es komplexe kollektive Quantenzustände beschreibt, deren Verständnis für neue Materialien, Quantensimulatoren und zukünftige Quantenalgorithmen relevant ist.
Physikalische Grundlagen
Elektronen in periodischen Festkörpern
In einem kristallinen Festkörper bewegen sich Elektronen im periodischen Potential der Atomrümpfe. Aufgrund der Translationssymmetrie können ihre Einteilchenzustände durch Bloch-Wellen beschrieben werden. Die erlaubten Energien bilden keine isolierten atomaren Energieniveaus mehr, sondern Energiebänder.
Bei schwach wechselwirkenden Elektronen reicht eine Bandbeschreibung häufig aus. In stark korrelierten Materialien funktioniert diese Näherung jedoch nur eingeschränkt. Dort kann die Coulomb-Wechselwirkung zwischen Elektronen von derselben Größenordnung wie ihre kinetische Energie sein oder diese sogar übertreffen.
Damit entsteht ein grundlegender Konflikt: Die kinetische Energie begünstigt delokalisierte Elektronen, während die Coulomb-Abstoßung eine räumliche Trennung und damit Lokalisierung begünstigt. Das Hubbard-Modell bildet genau diesen Wettbewerb ab.
Lokalisierte Orbitale und Wannier-Funktionen
Für Hubbard-Modelle ist eine Beschreibung durch lokalisierte Zustände besonders geeignet. Häufig werden dafür Wannier-Funktionen verwendet. Sie werden aus Bloch-Zuständen konstruiert, sind aber räumlich um einzelne Gitterplätze lokalisiert.
Ein Elektronenzustand wird dann durch den Gitterplatz, das Orbital und den Spin charakterisiert. Im Mehrbandfall benötigt man deshalb mindestens drei Indizes. Ein Erzeugungsoperator kann beispielsweise als
\(c_{im\sigma}^{\dagger}\)
geschrieben werden. Dabei bezeichnet \(i\) den Gitterplatz, \(m\) das Orbital und \(\sigma\) den Spin.
Elektronische Korrelation
Von starker elektronischer Korrelation spricht man, wenn die Bewegung eines Elektrons nicht unabhängig von den übrigen Elektronen betrachtet werden kann. Die Anwesenheit eines Elektrons verändert dann unmittelbar die energetischen Möglichkeiten anderer Elektronen.
Eine wichtige dimensionslose Vergleichsgröße ist das Verhältnis zwischen lokaler Wechselwirkungsstärke und Bandbreite:
\(\frac{U}{W}\)
Hier bezeichnet \(U\) die lokale Coulomb-Wechselwirkung und \(W\) eine charakteristische Bandbreite. Für kleine Werte dominiert die kinetische Energie. Bei großen Werten gewinnen Lokalisierung und Mott-Physik an Bedeutung.
Im Mehrbandfall reicht dieses Verhältnis allein nicht mehr aus. Zusätzlich spielen interorbitale Wechselwirkungen, Hundsche Kopplung, Kristallfeldaufspaltungen, unterschiedliche Bandbreiten und die Elektronenfüllung der einzelnen Orbitale eine wesentliche Rolle.
Definition des Mehrband-Hubbard-Modells
Allgemeiner Hamiltonoperator
Ein allgemeines Mehrband-Hubbard-Modell lässt sich in einen kinetischen und einen wechselwirkenden Anteil zerlegen:
\(H = H_{\mathrm{kin}} + H_{\mathrm{int}}\)
Der kinetische Anteil beschreibt die Bewegung und Hybridisierung der Elektronen. Der Wechselwirkungsanteil beschreibt hauptsächlich lokale Coulomb- und Austauschprozesse.
Kinetischer Anteil
Eine allgemeine Form des kinetischen Terms lautet:
\(H_{\mathrm{kin}} = \sum_{ij}\sum_{mm'}\sum_{\sigma} t_{ij}^{mm'} c_{im\sigma}^{\dagger}c_{jm'\sigma}\)
Die Matrixelemente \(t_{ij}^{mm'}\) bestimmen, mit welcher Amplitude ein Elektron vom Orbital \(m'\) am Gitterplatz \(j\) in das Orbital \(m\) am Gitterplatz \(i\) gelangen kann.
Für \(m=m'\) beschreibt der Term typischerweise die Bewegung innerhalb desselben Orbitaltyps. Für \(m\neq m'\) können orbitale Hybridisierungsprozesse erfasst werden. Die Hopping-Matrix enthält damit wesentlich mehr Information als der einzelne Hopping-Parameter eines einfachen Hubbard-Modells.
Orbitalabhängige Energien
Unterschiedliche Orbitale besitzen im Kristall häufig unterschiedliche lokale Energien. Diese können durch Kristallfeldterme beschrieben werden:
\(H_{\mathrm{cf}} = \sum_{im\sigma} \epsilon_m n_{im\sigma}\)
mit
\(n_{im\sigma}=c_{im\sigma}^{\dagger}c_{im\sigma}\)
als Teilchenzahloperator.
Die Energien \(\epsilon_m\) beeinflussen unmittelbar die Besetzung der einzelnen Orbitale. Bereits eine relativ kleine Kristallfeldaufspaltung kann deshalb das magnetische Verhalten oder den Charakter eines Metall-Isolator-Übergangs verändern.
Mehrere Bänder oder mehrere Orbitale?
Die Begriffe Mehrband- und Mehrorbital-Hubbard-Modell werden häufig nahezu synonym verwendet, sind aber nicht vollkommen identisch. Orbitale beziehen sich auf eine lokale Basis, während Bänder Eigenzustände des periodischen Einteilchenproblems darstellen.
Durch Hybridisierung kann ein einzelnes Band Beiträge mehrerer Orbitale enthalten. Umgekehrt kann ein einzelner Orbitaltyp an mehreren Bändern beteiligt sein. Für die lokale Coulomb-Wechselwirkung ist eine Orbitalbasis besonders natürlich, während experimentelle Bandstrukturen häufig in einer Impulsraumdarstellung diskutiert werden.
Lokale Coulomb-Wechselwirkungen
Intraorbitale Hubbard-Wechselwirkung
Der bekannteste Wechselwirkungsterm ist die Coulomb-Abstoßung zweier Elektronen mit entgegengesetztem Spin im selben Orbital:
\(H_U = U\sum_{im}n_{im\uparrow}n_{im\downarrow}\)
Die Energie \(U\) wird fällig, wenn ein Orbital doppelt besetzt wird. Ein großes \(U\) unterdrückt daher Doppelbesetzungen und fördert die Lokalisierung von Elektronen.
Interorbitale Wechselwirkung
Im Mehrbandfall können sich zwei Elektronen auf demselben Atom befinden, aber unterschiedliche Orbitale besetzen. Auch dann wirken sie über die Coulomb-Abstoßung miteinander. Die entsprechende Wechselwirkungsenergie wird häufig mit \(U'\) bezeichnet.
Ein vereinfachter Dichteterm besitzt die Form
\(H_{U'} = U'\sum_{i,m Damit entsteht bereits eine entscheidende Erweiterung gegenüber dem Einbandmodell: Ein Elektron beeinflusst nicht nur die Besetzung seines eigenen Orbitals, sondern auch die energetischen Bedingungen aller anderen lokalen Orbitale. Eine der wichtigsten Größen der Mehrbandphysik ist die Hundsche Austauschkopplung \(J_H\). Sie begünstigt unter typischen Bedingungen Zustände, bei denen Elektronen in verschiedenen Orbitalen parallele Spins besitzen. Das entspricht dem bekannten Hundschen Prinzip aus der Atomphysik. In einem Festkörper hat diese Kopplung jedoch weitreichende Konsequenzen. Sie beeinflusst lokale magnetische Momente, die Kohärenz der Ladungsträger, den Metall-Isolator-Übergang und die Stärke elektronischer Korrelationen. Ein schematischer Austauschterm kann als \(H_J = -J_H\sum_{i,m\neq m'}\mathbf{S}_{im}\cdot\mathbf{S}_{im'}\) dargestellt werden. Für positives \(J_H\) werden parallele Spins energetisch bevorzugt. Eine vollständige rotationsinvariante Wechselwirkung enthält mehr als reine Dichte-Dichte-Terme. Dazu gehören Prozesse, bei denen zwei Elektronen in unterschiedlichen Orbitalen ihre Spinorientierungen austauschen. Schematisch entsteht dabei ein Term der Form \(-J_H c_{im\uparrow}^{\dagger}c_{im\downarrow}c_{im'\downarrow}^{\dagger}c_{im'\uparrow}\) Solche Spin-Flip-Terme sind wichtig, wenn die vollständige Spinsymmetrie der lokalen Wechselwirkung erhalten bleiben soll. Ein weiterer Mehrorbitalprozess ist das Pair-Hopping. Dabei wechselt ein Elektronenpaar gemeinsam von einem Orbital in ein anderes. Ein entsprechender Beitrag kann schematisch geschrieben werden als \(J_H c_{im\uparrow}^{\dagger}c_{im\downarrow}^{\dagger}c_{im'\downarrow}c_{im'\uparrow}\) Ob Spin-Flip- und Pair-Hopping-Terme in einer konkreten Rechnung vollständig berücksichtigt werden, hängt von der verwendeten Methode und dem angestrebten Genauigkeitsniveau ab. Eine verbreitete Parametrisierung der lokalen Mehrorbital-Wechselwirkung ist die Kanamori-Form. Sie fasst intraorbitale Wechselwirkung, interorbitale Wechselwirkung, Hund-Austausch, Spin-Flip und Pair-Hopping in einem konsistenten Hamiltonoperator zusammen. Unter rotationsinvarianten Bedingungen gilt häufig die Beziehung \(U' = U - 2J_H\) Diese Gleichung reduziert die Zahl unabhängiger Wechselwirkungsparameter. Sie ist jedoch an bestimmte Symmetrievoraussetzungen gebunden und darf nicht als universelle Beziehung für jedes beliebige effektive Modell verstanden werden. Freie Atome besitzen häufig entartete Orbitale. In einem Kristall wird diese Entartung durch die Umgebung des Atoms teilweise oder vollständig aufgehoben. Die elektrostatische und kovalente Wechselwirkung mit benachbarten Atomen erzeugt eine Kristallfeldaufspaltung. Bei Übergangsmetallen sind insbesondere die fünf \(d\)-Orbitale relevant. In einer idealisierten oktaedrischen Umgebung erfolgt beispielsweise eine Aufspaltung in zwei Gruppen: die drei \(t_{2g}\)-Orbitale und die zwei \(e_g\)-Orbitale. Die zugehörige Energiedifferenz kann schematisch durch \(\Delta_{\mathrm{cf}} = \epsilon_{e_g}-\epsilon_{t_{2g}}\) charakterisiert werden. Welche Orbitale tatsächlich besetzt werden, hängt nicht allein von ihren Einteilchenenergien ab. Coulomb-Wechselwirkung und Hundsche Kopplung können eine rein energetisch erwartete Besetzungsreihenfolge verändern. Damit konkurrieren Kristallfeld und Hund-Kopplung unmittelbar miteinander. Eine starke Kristallfeldaufspaltung fördert die Besetzung energetisch tiefer Orbitale. Eine starke Hund-Kopplung kann dagegen Zustände begünstigen, bei denen mehrere Orbitale mit parallelen Spins besetzt werden. Sind verschiedene Orbitale unterschiedlich stark besetzt, spricht man von Orbitalpolarisation. Wird eine bestimmte Orbitalbesetzung räumlich geordnet, kann Orbitalordnung entstehen. Diese Ordnung kann mit magnetischer oder struktureller Ordnung gekoppelt sein. Gerade diese gegenseitige Abhängigkeit von Gitter, Ladung, Spin und Orbital macht Mehrbandmodelle physikalisch interessant, aber theoretisch anspruchsvoll. Die Bandbreite \(W\) liefert eine charakteristische Skala für die kinetische Energie der Elektronen. Große Hopping-Amplituden führen gewöhnlich zu breiten Bändern und fördern Delokalisierung. Verschiedene Orbitale können jedoch unterschiedliche Bandbreiten besitzen: \(W_1 \neq W_2 \neq W_3\) Dadurch können sich die Korrelationsstärken verschiedener Orbitale erheblich unterscheiden, obwohl sie sich im selben Material befinden. Die wichtigsten lokalen Wechselwirkungsenergien sind \(U\), \(U'\) und \(J_H\). Entscheidend ist nicht nur ihr absoluter Wert, sondern ihr Verhältnis zu den kinetischen Energieskalen. Typische Vergleichsgrößen sind \(\frac{U}{W}\) und \(\frac{J_H}{W}\) sowie die relative Kristallfeldaufspaltung \(\frac{\Delta_{\mathrm{cf}}}{W}\) Das Phasendiagramm eines Mehrband-Hubbard-Modells wird daher von mehreren konkurrierenden dimensionslosen Parametern bestimmt. Ebenso wichtig ist die Zahl der Elektronen relativ zur Zahl verfügbarer Orbitale. Halbfüllung besitzt im Mehrbandfall eine andere Bedeutung als im Einbandmodell. Bei \(M\) Orbitalen entspricht eine idealisierte Halbfüllung typischerweise \(M\) Elektronen pro Gitterplatz, sofern jedes Orbital zwei Spinzustände aufnehmen kann. Auch andere ganzzahlige Füllungen können jedoch korrelierte Isolatoren oder Hund-dominierte Metalle hervorbringen. Nach einer einfachen Bandtheorie sollte ein teilweise gefülltes Band metallisch sein. Eine ausreichend starke Elektron-Elektron-Wechselwirkung kann die Elektronen jedoch lokalisieren und einen isolierenden Zustand erzeugen. Dieser Zustand wird als Mott-Isolator bezeichnet. Der Übergang entsteht aus der Konkurrenz zwischen kinetischer Energie und lokaler Coulomb-Abstoßung. Vereinfacht kann man ihn durch das Verhältnis \(\frac{U}{W}\) charakterisieren. Ein universeller kritischer Wert existiert jedoch nicht. Gitterstruktur, Temperatur, Orbitalzahl, Bandfüllung und zusätzliche Wechselwirkungen verändern die Lage des Übergangs. Im Mehrbandmodell wird der Mott-Übergang komplexer. Mehrere Orbitale erhöhen zunächst die Zahl möglicher Bewegungs- und Besetzungszustände. Gleichzeitig erzeugen \(U'\) und \(J_H\) neue lokale Energiehierarchien. Die Hundsche Kopplung kann dabei je nach Füllung unterschiedliche Wirkungen besitzen. Bei bestimmten ganzzahligen Füllungen stabilisiert sie lokale Hochspin-Zustände und kann die Lokalisierung fördern. In anderen Bereichen erzeugt sie ein stark korreliertes Metall, ohne unmittelbar einen vollständigen Mott-Zustand hervorzurufen. In stark korrelierten Systemen kann sich das elektronische Spektrum in mehrere charakteristische Bereiche aufspalten. Neben einem möglichen quasiteilchenartigen Beitrag nahe der Fermi-Energie entstehen obere und untere Hubbard-Bänder. Diese spektrale Umverteilung ist eine direkte Folge der Wechselwirkung. Elektronen können nicht mehr als unabhängige Bandteilchen betrachtet werden. Ihre Anregungsenergien hängen von lokalen Besetzungszuständen und Coulomb-Kosten ab. Eine besonders charakteristische Erscheinung von Mehrband-Hubbard-Modellen ist der orbital-selektive Mott-Übergang. Dabei werden Elektronen in einem Teil der Orbitale lokalisiert, während andere Orbitale weiterhin metallisch bleiben. Formal kann ein System beispielsweise gleichzeitig \(Z_1 = 0\) und \(Z_2 > 0\) aufweisen. Hier bezeichnet \(Z_m\) das Quasiteilchengewicht eines Orbitals. Ein verschwindendes Quasiteilchengewicht signalisiert die Mott-Lokalisierung des betreffenden Orbitals. Ein natürlicher Mechanismus für orbital-selektive Lokalisierung sind unterschiedliche Bandbreiten. Besitzt ein Orbital eine schmale Bandbreite \(W_1\) und ein anderes eine deutlich größere Bandbreite \(W_2\), dann gilt bei identischer lokaler Wechselwirkung \(\frac{U}{W_1} > \frac{U}{W_2}\) Das schmalere Band ist damit stärker korreliert und kann zuerst lokalisieren. Die Hund-Kopplung kann orbital-selektives Verhalten erheblich verstärken. Sie koppelt die Spins unterschiedlicher Orbitale, reduziert bestimmte interorbitale Ladungsfluktuationen und kann dadurch eine stärkere dynamische Trennung der Orbitale bewirken. Orbital-selektive Zustände sind deshalb nicht lediglich das Ergebnis verschiedener Bandbreiten. Sie können aus einem komplexen Zusammenspiel von Bandstruktur, Füllung, Kristallfeld und Hund-Kopplung entstehen. Ein Hund-Metall ist ein metallischer Zustand, dessen starke Korrelationen wesentlich von der Hundschen Kopplung bestimmt werden. Das System kann dabei relativ weit von einem klassischen Mott-Isolator entfernt sein und dennoch große effektive Massen, ausgeprägte lokale magnetische Momente und geringe elektronische Kohärenz zeigen. Damit unterscheidet sich die Hund-Physik grundsätzlich von der einfachen Vorstellung, dass starke Korrelation ausschließlich aus einem großen Wert von \(U\) entsteht. Die Hund-Kopplung fördert lokale Zustände mit großem Spin. Dadurch werden Übergänge zwischen unterschiedlichen lokalen Besetzungskonfigurationen eingeschränkt. Die Elektronen bewegen sich zwar weiterhin durch den Festkörper, tragen aber ausgeprägte lokale Vielteilchenkorrelationen. Eine wichtige Folge ist die Verringerung der Temperatur- oder Energieskala, unterhalb der sich wohldefinierte quasiteilchenartige Anregungen ausbilden. Oberhalb dieser Kohärenzskala kann ein ungewöhnlich inkohärentes Metall entstehen. Der elektrische Transport und die spektralen Eigenschaften weichen dann deutlich von einem einfachen Fermi-Flüssigkeitsbild ab. In bestimmten Parameterbereichen zeigen Mehrorbitalmodelle langsam fluktuierende lokale magnetische Momente. Dieses Verhalten wird häufig als Spin-Freeze- oder Spin-Freezing-Regime bezeichnet. Es ist besonders relevant für Systeme, in denen Hund-Korrelationen dominieren, und wurde intensiv im Zusammenhang mit Eisen-basierten Supraleitern und verwandten Materialien untersucht. Große Werte von \(U\) unterdrücken Doppelbesetzungen, während \(J_H\) parallele Spins in verschiedenen Orbitalen begünstigt. Dadurch können ausgeprägte lokale magnetische Momente entstehen. Diese Momente sind nicht notwendigerweise vollständig statisch. In metallischen Systemen können sie zeitlich fluktuieren und mit beweglichen Ladungsträgern gekoppelt sein. Im stark lokalisierten Bereich können Elektronen nicht frei zwischen benachbarten Gitterplätzen wechseln. Virtuelle Hopping-Prozesse sind jedoch weiterhin möglich und erzeugen effektive magnetische Wechselwirkungen. Für ein einfaches Einbandproblem besitzt die Superaustauschskala typischerweise die Größenordnung \(J_{\mathrm{ex}} \sim \frac{4t^2}{U}\) Im Mehrbandfall wird diese einfache Beziehung durch unterschiedliche Orbitale, Zwischenzustände und Hund-Kopplungen erweitert. Wenn sowohl Spin- als auch Orbitalfreiheitsgrade aktiv bleiben, entstehen effektive Spin-Orbital-Hamiltonoperatoren. Ein bekanntes Beispiel dieser Modellklasse sind Kugel-Khomskii-artige Modelle. Die effektive Wechselwirkung zwischen zwei Gitterplätzen hängt dort gleichzeitig von ihrer Spinorientierung und ihrer Orbitalbesetzung ab. Magnetische und orbitale Ordnung können deshalb nicht unabhängig voneinander betrachtet werden. Mehrbandmaterialien können mehrere Fermi-Flächen besitzen. Elektronen aus unterschiedlichen Orbitalen oder Bändern tragen dann gleichzeitig zu den niederenergetischen Eigenschaften bei. Dadurch entstehen verschiedene mögliche Paarungskanäle. Cooper-Paare können innerhalb desselben Bandes oder unter Beteiligung verschiedener Bänder gebildet werden. Eine Mehrband-Supraleitung kann durch mehrere gekoppelte Ordnungsparameter beschrieben werden. Schematisch lassen sich Lückenparameter \(\Delta_1,\Delta_2,\ldots,\Delta_M\) den verschiedenen Bändern oder orbitalen Komponenten zuordnen. Die Wechselwirkung zwischen diesen Komponenten kann die kritische Temperatur, die Symmetrie der supraleitenden Ordnung und die Größe der Energielücken beeinflussen. In stark korrelierten Mehrband-Hubbard-Modellen werden insbesondere magnetische Spinfluktuationen als möglicher Paarungsmechanismus untersucht. Anders als in der konventionellen phononvermittelten BCS-Supraleitung kann die effektive Anziehung zwischen Elektronen dabei aus rein elektronischen Korrelationen hervorgehen. Welche Paarungssymmetrie entsteht, hängt von der Fermi-Flächengeometrie, den orbitalen Anteilen und der Impulsabhängigkeit der Wechselwirkungen ab. Eisen-basierte Supraleiter sind ein wichtiges Anwendungsgebiet. In ihrer Nähe zur Fermi-Energie tragen mehrere Eisen-\(3d\)-Orbitale zur elektronischen Struktur bei. Eine realistische Beschreibung erfordert deshalb grundsätzlich einen Mehrorbitalansatz. Das Mehrband-Hubbard-Modell allein liefert allerdings nicht automatisch eine eindeutige Theorie der Hochtemperatursupraleitung. Es stellt vielmehr den mikroskopischen Ausgangspunkt dar, aus dem verschiedene magnetische, orbitale und supraleitende Instabilitäten untersucht werden können. Zusätzlich zu Coulomb- und Hund-Wechselwirkungen kann die Spin-Bahn-Kopplung entscheidend sein. Sie koppelt den Spin eines Elektrons an seinen orbitalen Drehimpuls. Ein vereinfachter lokaler Term lautet \(H_{\mathrm{SOC}} = \lambda\mathbf{L}\cdot\mathbf{S}\) mit der Spin-Bahn-Kopplungsstärke \(\lambda\). In Materialien mit schweren Elementen kann \(\lambda\) mit Kristallfeld- und Wechselwirkungsenergien vergleichbar werden. Die geeigneten elektronischen Zustände sind dann nicht mehr reine Spin- und Orbitalzustände, sondern verschränkte Spin-Orbital-Zustände. Das physikalische Verhalten wird durch die Konkurrenz \(U,\quad J_H,\quad \Delta_{\mathrm{cf}},\quad \lambda,\quad W\) bestimmt. Gerade bei \(4d\)- und \(5d\)-Übergangsmetallen ist diese Mehrskalenphysik von großer Bedeutung. Schon das Einband-Hubbard-Modell besitzt in zwei und drei Dimensionen keine allgemeine exakte Lösung. Durch zusätzliche Orbitale wächst der lokale Hilbertraum exponentiell weiter. Bei \(M\) spinentarteten Orbitalen besitzt ein einzelner Gitterplatz grundsätzlich \(4^M\) lokale Fock-Zustände, sofern jedes Orbital leer, einfach mit Spin aufwärts, einfach mit Spin abwärts oder doppelt besetzt sein kann. Bereits fünf Orbitale erzeugen damit \(4^5 = 1024\) lokale Zustände pro Gitterplatz. In einem Gitter wächst der gesamte Hilbertraum anschließend exponentiell mit der Zahl der Plätze. Die Hartree-Fock-Methode ersetzt komplizierte Wechselwirkungsterme durch selbstkonsistente Einteilchenfelder. Dadurch können magnetische oder orbitale Ordnungen untersucht werden. Der Vorteil ist der vergleichsweise geringe numerische Aufwand. Der entscheidende Nachteil besteht darin, dass dynamische Vielteilchenkorrelationen nur unzureichend erfasst werden. Mott-Physik und stark inkohärente metallische Zustände können dadurch falsch oder überhaupt nicht beschrieben werden. Für schwache oder moderate Wechselwirkungen können Diagrammtechniken und störungstheoretische Näherungen eingesetzt werden. Dazu zählen beispielsweise Random-Phase-Approximationen und verschiedene Selbstenergieverfahren. Sie sind besonders nützlich zur Analyse von magnetischen, orbitalen und supraleitenden Instabilitäten. In tiefen Mott-Regimen verlieren schwache Kopplungsentwicklungen jedoch ihre Zuverlässigkeit. Bei der exakten Diagonalisierung wird der Vielteilchen-Hamiltonoperator für ein endliches System direkt diagonalisiert. Dadurch erhält man prinzipiell vollständige Informationen über Eigenzustände und Energien. Die Methode ist jedoch durch das exponentielle Wachstum des Hilbertraums stark begrenzt. Mehrere Orbitale verschärfen dieses Problem erheblich. Quanten-Monte-Carlo-Verfahren können thermodynamische und dynamische Eigenschaften korrelierter Modelle mit hoher Genauigkeit berechnen. Ihre Anwendbarkeit hängt jedoch stark vom konkreten Hamiltonoperator ab. Bei fermionischen Systemen kann das Vorzeichenproblem auftreten. Dann schwankt das statistische Gewicht verschiedener Konfigurationen stark, sodass der Rechenaufwand exponentiell wachsen kann. Mehrere Orbitale, Hund-Terme und allgemeine Hybridisierungen können die numerische Situation zusätzlich erschweren. Die Dynamische Molekularfeldtheorie, kurz DMFT, gehört zu den wichtigsten Methoden zur Behandlung stark korrelierter Elektronensysteme. Die zentrale Idee besteht darin, ein wechselwirkendes Gitterproblem selbstkonsistent auf ein Quantenstörstellenproblem abzubilden: \(\mathrm{Gitterproblem}\rightarrow\mathrm{Quantenst\ddot{o}rstellenproblem}\) Die lokale Selbstenergie wird vollständig frequenzabhängig behandelt. Dadurch kann DMFT sowohl quasiteilchenartige Metalle als auch Mott-Isolatoren und den Übergang zwischen ihnen erfassen. Eine zentrale Größe ist die elektronische Selbstenergie \(\Sigma_m(\omega)\) Sie beschreibt die Modifikation der Elektronenbewegung durch Vielteilchenwechselwirkungen. In einer lokalen DMFT-Näherung wird ihre explizite Impulsabhängigkeit vernachlässigt: \(\Sigma_m(\mathbf{k},\omega)\approx\Sigma_m(\omega)\) Die Frequenzabhängigkeit bleibt jedoch vollständig erhalten. Für Mehrbandmodelle wird das Störstellenproblem selbst zu einem Mehrorbitalproblem. Die lokale Green-Funktion und die Selbstenergie besitzen dann eine Matrixstruktur: \(G_{mm'}(\omega)\) und \(\Sigma_{mm'}(\omega)\) Damit können orbitalabhängige Quasiteilchengewichte, Hund-Metalle und orbital-selektive Mott-Zustände untersucht werden. Die praktische Leistungsfähigkeit einer DMFT-Rechnung hängt wesentlich vom verwendeten Löser für das Quantenstörstellenproblem ab. Eingesetzt werden unter anderem Continuous-Time Quantum Monte Carlo, exakte Diagonalisierung, Numerical Renormalization Group und andere spezialisierte Verfahren. Besonders bei fünf oder mehr korrelierten Orbitalen kann der numerische Aufwand erheblich werden. Übergangsmetalloxide gehören zu den klassischen Anwendungsgebieten des Mehrband-Hubbard-Modells. Die teilweise gefüllten \(d\)-Schalen der Übergangsmetalle erzeugen mehrere energetisch relevante Orbitale. Gleichzeitig sind die Coulomb-Wechselwirkungen häufig stark. Deshalb treten in dieser Materialklasse Mott-Isolatoren, magnetische Ordnungen, Metall-Isolator-Übergänge und komplexe Spin-Orbital-Zustände auf. Ruthenate liefern wichtige Beispiele für Mehrorbital-Korrelation. Mehrere Ruthenium-\(4d\)-Orbitale tragen zur niederenergetischen elektronischen Struktur bei. Aufgrund der größeren räumlichen Ausdehnung von \(4d\)-Orbitalen unterscheiden sich Bandbreiten und Wechselwirkungsstärken von typischen \(3d\)-Systemen. Hier zeigt sich besonders deutlich, dass starke Korrelation nicht ausschließlich mit extrem großen Hubbard-Wechselwirkungen verbunden sein muss. In Eisen-basierten Supraleitern spielen mehrere \(3d\)-Orbitale gleichzeitig eine Rolle. Unterschiedliche Orbitale können verschiedene effektive Massen, Besetzungen und Kohärenzskalen besitzen. Diese orbital differenzierte Korrelation gehört zu den wichtigsten Gründen, weshalb einfache Einbandmodelle für diese Materialklasse nicht ausreichen. Nickelate haben aufgrund ihrer möglichen Nähe zu korrelierten metallischen, magnetischen und supraleitenden Zuständen große Aufmerksamkeit erhalten. Abhängig von Materialstruktur und chemischer Zusammensetzung können Nickel-\(d\)-Orbitale sowie weitere elektronische Zustände relevant sein. Die Frage, welche Orbitale in ein effektives Hubbard-Modell aufgenommen werden müssen, ist hier selbst ein wesentlicher Teil der Modellbildung. Ein realistisches Mehrband-Hubbard-Modell benötigt Hopping-Matrixelemente und lokale Orbitalenergien. Diese können aus elektronischen Strukturrechnungen gewonnen werden. Ein verbreiteter Ausgangspunkt ist die Dichtefunktionaltheorie. Aus den resultierenden Bloch-Bändern können anschließend lokalisierte Wannier-Funktionen konstruiert werden. Damit lässt sich ein effektiver Hamiltonoperator \(H_{\mathrm{eff}} = H_{\mathrm{Wannier}} + H_{\mathrm{int}}\) aufbauen. DFT+U ergänzt die Dichtefunktionaltheorie um eine statische lokale Wechselwirkung für ausgewählte Orbitale. Das Verfahren kann beispielsweise isolierende oder magnetisch geordnete Zustände besser beschreiben als eine einfache DFT-Rechnung. Seine Wechselwirkungsbehandlung bleibt jedoch im Wesentlichen statisch. Dynamische Mott- und Hund-Korrelationen werden dadurch nur eingeschränkt erfasst. DFT+DMFT kombiniert eine materialrealistische Bandstruktur mit einer dynamischen Behandlung lokaler Wechselwirkungen. Schematisch ergibt sich \(\mathrm{DFT}+\mathrm{DMFT}\rightarrow\mathrm{materialrealistische\ Vielteilchentheorie}\) Die Methode kann quasiteilchenartige Bänder, orbitalabhängige Massenrenormalisierung, Hubbard-Bänder und temperaturabhängige Kohärenzeffekte gleichzeitig untersuchen. Die Wechselwirkungsparameter sollten für quantitative Materialrechnungen nicht beliebig gewählt werden. Sie können beispielsweise mit constrained Random Phase Approximation oder verwandten Verfahren abgeschätzt werden. Das effektive \(U\) hängt dabei von der gewählten orbitalen Untermenge und von Abschirmungsprozessen ab. Es ist daher kein universeller atomarer Konstantenwert. Bei der Kombination von DFT und expliziten Hubbard-Wechselwirkungen entsteht ein konzeptionelles Problem: Ein Teil der Elektron-Elektron-Wechselwirkung ist bereits in der Dichtefunktionaltheorie enthalten. Dieser Anteil muss durch eine sogenannte Double-Counting-Korrektur berücksichtigt werden. Da die exakte Form dieser Korrektur nicht eindeutig festgelegt ist, stellt sie eine wichtige Unsicherheitsquelle materialrealistischer DFT+DMFT-Rechnungen dar. Eine der wichtigsten Größen ist die elektronische Spektralfunktion \(A(\mathbf{k},\omega)\) Sie beschreibt, bei welchen Energien und Impulsen elektronische Anregungen auftreten. Sie lässt sich direkt mit experimentellen Techniken wie der winkelaufgelösten Photoemissionsspektroskopie vergleichen. Durch Integration über den Impuls erhält man eine lokale spektrale Größe: \(A(\omega)=\sum_{\mathbf{k}}A(\mathbf{k},\omega)\) Im Mehrbandfall kann zusätzlich eine orbitalaufgelöste Zustandsdichte \(A_m(\omega)\) betrachtet werden. In einem Fermi-Flüssigkeitsregime kann das Quasiteilchengewicht näherungsweise über die Selbstenergie definiert werden: \(Z_m=\left[1-\left.\frac{\partial\mathrm{Re}\Sigma_m(\omega)}{\partial\omega}\right|_{\omega=0}\right]^{-1}\) Kleine Werte von \(Z_m\) zeigen starke Masserenormalisierung und starke Korrelation an. Für einen idealisierten Mott-Übergang verschwindet das Quasiteilchengewicht des lokalisierenden Orbitals. Unter geeigneten Voraussetzungen hängt die effektive Quasiteilchenmasse ungefähr mit dem Quasiteilchengewicht zusammen: \(\frac{m_m^*}{m_m}\sim\frac{1}{Z_m}\) Ein stark reduziertes \(Z_m\) entspricht daher einer deutlich erhöhten effektiven Masse. Die intraorbitale Doppelbesetzung \(D_m=\langle n_{m\uparrow}n_{m\downarrow}\rangle\) liefert direkte Informationen darüber, wie stark die lokale Coulomb-Abstoßung Doppelbesetzungen unterdrückt. Magnetische Eigenschaften können durch Korrelationsfunktionen wie \(\langle\mathbf{S}_i\cdot\mathbf{S}_j\rangle\) untersucht werden. Entsprechende orbitalabhängige Korrelationsfunktionen zeigen, ob sich bestimmte Orbitalbesetzungen räumlich bevorzugt oder geordnet ausbilden. Ein Mehrband-Hubbard-Modell besitzt kein einzelnes universelles Phasendiagramm. Bereits ein Modell mit zwei Orbitalen hängt von zahlreichen Größen ab: Bandbreiten, Füllung, Kristallfeldaufspaltung, Hubbard-Wechselwirkung, interorbitaler Wechselwirkung, Hund-Kopplung, Temperatur und Hopping-Geometrie. Ein möglicher Parameterraum kann beispielsweise durch \((U,J_H,n,T,\Delta_{\mathrm{cf}})\) charakterisiert werden. Bei kleinen Wechselwirkungen dominieren die Bandstruktur und die kinetische Energie. Das System kann dann näherungsweise durch renormalisierte quasiteilchenartige Zustände beschrieben werden. Mit steigender Wechselwirkungsstärke werden die quasiteilchenartigen Bänder schmaler. Effektive Massen wachsen, Kohärenztemperaturen sinken und spektrales Gewicht wird in hochenergetische Bereiche verschoben. Bei geeigneten Füllungen und mehreren aktiven Orbitalen kann eine starke Hund-Kopplung einen metallischen Zustand mit ausgeprägten lokalen Momenten und orbital differenzierten Korrelationen stabilisieren. Bei ausreichend starker Wechselwirkung und geeigneter Füllung können alle relevanten Orbitale lokalisieren. Der Ladungstransport wird unterdrückt und eine Mott-Lücke entsteht. Zwischen vollständig metallischen und vollständig lokalisierten Zuständen kann ein Bereich liegen, in dem lediglich ein Teil der Orbitale Mott-lokalisiert ist. Zusätzlich können ferromagnetische, antiferromagnetische, orbitale oder supraleitende Phasen auftreten. Häufig konkurrieren mehrere Ordnungsparameter miteinander, sodass kleine Änderungen von Druck, Dotierung oder Temperatur starke Phasenänderungen auslösen können. Ultrakalte Atome in optischen Gittern ermöglichen eine kontrollierte Realisierung von Gitter-Hamiltonoperatoren. Laserfelder erzeugen periodische Potentiale, deren Geometrie und Tiefe experimentell eingestellt werden können. Dadurch lassen sich Hopping-Amplituden und Wechselwirkungsstärken in Bereichen kontrollieren, die bei realen Festkörpern kaum direkt zugänglich sind. Mehrbandphysik kann auf verschiedenen Wegen simuliert werden. Neben höheren orbitalen Zuständen eines optischen Gitters können interne atomare Zustände als effektive orbitale Freiheitsgrade dienen. Damit lassen sich Modelle erzeugen, bei denen mehrere lokale Quantenzustände miteinander wechselwirken. In atomaren Quantensystemen kann die effektive Wechselwirkung unter geeigneten Bedingungen über externe Felder verändert werden. Dadurch wird der Übergang zwischen schwach und stark korrelierten Bereichen experimentell zugänglich. Ein wesentlicher Vorteil analoger Quantensimulatoren besteht darin, dass die Modellparameter wesentlich gezielter kontrolliert werden können als in einem natürlichen Festkörper. Eine analoge Quantensimulation ist jedoch nicht automatisch eine exakte Realisierung eines bestimmten Festkörper-Hamiltonoperators. Temperatur, Homogenität, Zustandspräparation, Messmöglichkeiten und unvermeidliche zusätzliche Wechselwirkungen begrenzen die Übereinstimmung. Der große wissenschaftliche Wert besteht deshalb vor allem darin, universelle Vielteilchenphänomene kontrolliert untersuchen zu können. Digitale Quantencomputer arbeiten mit Qubits, während Hubbard-Modelle durch fermionische Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren formuliert werden. Deshalb müssen fermionische Freiheitsgrade zunächst auf Qubitoperatoren abgebildet werden. Ein häufig verwendeter Ansatz ist die Jordan-Wigner-Transformation. Dabei wird ein fermionischer Besetzungszustand auf einen Qubitzustand übertragen. Für \(M\) Orbitale auf \(N\) Gitterplätzen entstehen bei expliziter Spinauflösung zunächst \(N_{\mathrm{modes}}=2MN\) fermionische Moden. Eine direkte Kodierung benötigt entsprechend eine mit der Zahl dieser Moden wachsende Zahl logischer Qubits. Bei der Jordan-Wigner-Abbildung können fermionische Operatoren beispielsweise durch Produkte von Pauli-Operatoren dargestellt werden. Schematisch gilt für eine fermionische Mode \(j\): \(c_j=\frac{1}{2}(X_j+iY_j)\prod_{k Die Kette von \(Z\)-Operatoren stellt sicher, dass die korrekten fermionischen Antikommutationsrelationen erhalten bleiben. Die Bravyi-Kitaev-Transformation verteilt Besetzungs- und Paritätsinformationen anders auf die Qubits. Dadurch können bestimmte Operatoren kompakter als bei einer direkten Jordan-Wigner-Kodierung dargestellt werden. Welche Transformation vorteilhaft ist, hängt vom Hamiltonoperator, der Hardwarearchitektur und dem verwendeten Quantenalgorithmus ab. Der Variational Quantum Eigensolver, kurz VQE, ist ein hybrider quanten-klassischer Ansatz zur Abschätzung von Grundzustandsenergien. Ein parametrisierter Quantenzustand \(|\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle\) wird auf dem Quantenprozessor erzeugt. Anschließend wird die Energie \(E(\boldsymbol{\theta})=\langle\psi(\boldsymbol{\theta})|H|\psi(\boldsymbol{\theta})\rangle\) gemessen und klassisch minimiert. Für Mehrband-Hubbard-Modelle ist die Wahl eines geeigneten Ansatzes schwierig. Der Zustandsraum wächst schnell, und starke Verschränkung kann tiefe Quantenschaltungen erforderlich machen. Fehlertolerante Quantencomputer könnten langfristig Verfahren wie Quantum Phase Estimation verwenden. Diese Methode kann Eigenenergien eines Hamiltonoperators mit prinzipiell hoher Genauigkeit bestimmen, benötigt jedoch tiefe Quantenschaltungen und zuverlässige logische Qubits. Für realistische Mehrband-Hubbard-Modelle liegt dieser Ansatz deutlich jenseits dessen, was kleine verrauschte Quantenprozessoren zuverlässig leisten können. Das Mehrband-Hubbard-Modell ist ein plausibler Kandidat für zukünftige Quantensimulation, weil klassische Verfahren durch das exponentielle Wachstum des Hilbertraums, Vorzeichenprobleme oder starke Verschränkung begrenzt sein können. Daraus folgt jedoch nicht automatisch ein praktischer Quantenvorteil. Ein überzeugender Vorteil muss eine vollständige Rechnung einschließlich Zustandspräparation, Messungen, Fehlerkorrektur und benötigter Genauigkeit berücksichtigen. Ein Hubbard-Modell ist immer eine effektive Beschreibung. Aus der vollständigen elektronischen Struktur eines Materials wird eine begrenzte Anzahl relevanter Orbitale ausgewählt. Diese Reduktion ist sinnvoll, wenn die ausgeschlossenen Freiheitsgrade deutlich höhere oder niedrigere Energien besitzen. Sind jedoch zusätzliche Bänder in unmittelbarer Nähe der Fermi-Energie vorhanden, kann eine zu kleine Modellbasis wesentliche Prozesse verlieren. Standard-Hubbard-Modelle konzentrieren sich auf lokale Coulomb-Wechselwirkungen. In realen Festkörpern existieren jedoch auch nichtlokale Wechselwirkungen zwischen Elektronen auf unterschiedlichen Gitterplätzen. Diese können in erweiterten Hubbard-Modellen beispielsweise durch einen Term \(H_V=V\sum_{\langle i,j\rangle}n_i n_j\) berücksichtigt werden. Solche Wechselwirkungen können Ladungsordnung und andere kollektive Zustände wesentlich beeinflussen. Das reine Mehrband-Hubbard-Modell behandelt hauptsächlich elektronische Freiheitsgrade. Reale Materialien besitzen zusätzlich Gitterschwingungen. Eine Kopplung zwischen Elektronen und Phononen kann Strukturübergänge, Ladungsordnung und Supraleitung beeinflussen. In Materialien mit starker Elektron-Phonon-Wechselwirkung reicht ein reines Hubbard-Modell deshalb nicht aus. Lokale Methoden wie die gewöhnliche DMFT erfassen lokale dynamische Korrelationen sehr gut, behandeln räumlich nichtlokale Korrelationen jedoch nur eingeschränkt. In niedrigdimensionalen Systemen oder nahe magnetischer kritischer Punkte können solche räumlichen Korrelationen entscheidend werden. Cluster-DMFT, diagrammatische Erweiterungen und andere Methoden versuchen diese Lücke zu schließen. Auch die Wahl von \(U\), \(J_H\), Hopping-Amplituden und Kristallfeldern beeinflusst die Ergebnisse erheblich. Ein theoretisch präzise gelöstes Modell ist nur dann eine gute Beschreibung eines realen Materials, wenn auch seine Parameter physikalisch angemessen gewählt wurden. Die eigentliche Herausforderung besteht daher aus zwei getrennten Problemen: dem Aufbau eines geeigneten effektiven Hamiltonoperators und seiner möglichst genauen Lösung. Das Mehrband-Hubbard-Modell fügt dem Einbandmodell nicht lediglich weitere Kopien desselben Bandes hinzu. Die zusätzlichen Orbitale erzeugen qualitativ neue Freiheitsgrade und Wechselwirkungskanäle. Besonders die Hundsche Kopplung verändert die Physik grundlegend. Sie kann starke Korrelationen erzeugen, obwohl ein System nicht unmittelbar vor einem gewöhnlichen Mott-Übergang steht. Dadurch entsteht das Konzept des Hund-Metalls als eigenständiger korrelierter Zustand. Eine der zentralen Erkenntnisse der Mehrbandtheorie lautet, dass Elektronen desselben Materials unterschiedliche Korrelationsstärken besitzen können. Ein Orbital kann nahezu lokalisiert sein, während ein anderes relativ bewegliche Ladungsträger trägt. Die Vorstellung eines einzigen universellen effektiven Elektrons für den gesamten Festkörper ist deshalb in vielen Quantenmaterialien nicht ausreichend. Das Modell verbindet Atomphysik, Festkörperphysik und Vielteilchentheorie. Lokale Hundsche Regeln treffen auf kollektive Bandbildung. Kristallfelder konkurrieren mit Coulomb-Korrelationen. Magnetische Austauschprozesse entstehen aus virtueller Elektronenbewegung. Supraleitung kann aus kollektiven elektronischen Fluktuationen hervorgehen. Diese Verbindung unterschiedlicher physikalischer Ebenen macht das Mehrband-Hubbard-Modell zu einem besonders aussagekräftigen Minimalmodell für komplexe Quantenmaterie. Mehrband-Hubbard-Systeme sind zugleich anspruchsvolle Benchmarks für numerische Vielteilchenverfahren. Neue klassische Algorithmen, Tensor-Netzwerk-Methoden, Monte-Carlo-Techniken und Quantenalgorithmen können an ihnen getestet werden. Ein Verfahren, das realistische Mehrorbital-Hamiltonoperatoren zuverlässig über große Parameterbereiche löst, würde deshalb nicht nur ein einzelnes theoretisches Problem lösen, sondern eine breite Klasse korrelierter Quantensysteme zugänglicher machen. Das Mehrband-Hubbard-Modell ist eine zentrale theoretische Beschreibung für Systeme, in denen mehrere elektronische Orbitale gleichzeitig an der niederenergetischen Physik beteiligt sind. Gegenüber dem Einband-Hubbard-Modell erweitert es nicht nur die Zahl elektronischer Zustände, sondern führt neue fundamentale Wechselwirkungsmechanismen ein. Die intraorbitale Coulomb-Wechselwirkung \(U\), die interorbitale Wechselwirkung \(U'\) und die Hundsche Kopplung \(J_H\) bestimmen gemeinsam mit Bandbreite, Kristallfeld, Hybridisierung, Spin-Bahn-Kopplung und Elektronenfüllung das Verhalten des Systems. Besonders wichtig ist die Hundsche Kopplung. Sie stabilisiert lokale Hochspin-Konfigurationen, verändert Ladungs- und Orbitalfluktuationen und kann stark korrelierte metallische Zustände erzeugen. Hund-Metalle zeigen deutlich, dass starke elektronische Korrelation nicht ausschließlich als unmittelbare Vorstufe eines Mott-Isolators verstanden werden darf. Ein weiteres charakteristisches Phänomen ist der orbital-selektive Mott-Übergang. Dabei lokalisieren einzelne Orbitale, während andere metallisch bleiben. Dieser Zustand verdeutlicht, dass die Elektronen eines Mehrorbitalmaterials nicht zwingend einheitlich auf Wechselwirkungen reagieren. Für reale Quantenmaterialien ist die Verbindung von materialrealistischer Bandstruktur und Vielteilchentheorie entscheidend. Verfahren wie DFT+DMFT ermöglichen es, experimentell relevante Spektren, effektive Massen, Hubbard-Bänder und orbitalabhängige Korrelationen zu berechnen. Gleichzeitig bleiben Unsicherheiten bei der Wahl des effektiven Orbitalraums, der Wechselwirkungsparameter und der Double-Counting-Korrektur bestehen. Das Mehrband-Hubbard-Modell besitzt darüber hinaus eine wachsende Bedeutung für die Quantentechnologie. Ultrakalte Atome können ausgewählte Varianten analog simulieren, während digitale Quantencomputer langfristig eine neue Möglichkeit zur Lösung stark korrelierter fermionischer Modelle eröffnen könnten. Ein praktischer Quantenvorteil für realistische Mehrbandprobleme ist jedoch eine zukünftige Möglichkeit und keine bereits allgemein erreichte Fähigkeit. Der zentrale Wert des Modells liegt letztlich in seiner Fähigkeit, mehrere fundamentale Aspekte korrelierter Quantenmaterie innerhalb eines gemeinsamen Rahmens zu verbinden: Elektronenbewegung, Coulomb-Abstoßung, Hund-Austausch, Magnetismus, Orbitalphysik, Mott-Lokalisierung und in geeigneten Systemen supraleitende Instabilitäten. Genau deshalb bleibt das Mehrband-Hubbard-Modell eines der wichtigsten Arbeitsmodelle für das Verständnis komplexer Quantenmaterialien. Die wissenschaftliche Literatur zum Mehrband-Hubbard-Modell reicht von den grundlegenden Arbeiten zur lokalen Elektronenkorrelation über die Entwicklung der Dynamischen Molekularfeldtheorie bis zu modernen Untersuchungen von Hund-Metallen, orbital-selektiven Mott-Übergängen und materialrealistischen Mehrorbital-Systemen. Die folgenden Arbeiten sind so ausgewählt, dass sie sowohl die theoretische Grundlage als auch die für die heutige Mehrbandphysik entscheidenden Weiterentwicklungen abdecken. Für das Mehrband-Hubbard-Modell ist eine Kombination aus Vielteilchentheorie, Festkörperphysik, Magnetismus und elektronischer Strukturtheorie erforderlich. Die folgenden Werke sind keine bloße Ergänzung zu einzelnen Artikeln, sondern liefern die mathematischen und physikalischen Grundlagen, die zum Verständnis der verwendeten Hamiltonoperatoren, Green-Funktionen, Quasiteilchen, Austauschmechanismen und numerischen Methoden notwendig sind. Online-Ressourcen sind für das Mehrband-Hubbard-Modell vor allem in drei Bereichen wichtig: Recherche neuer Fachliteratur, Zugriff auf elektronische Strukturdaten sowie praktische Durchführung von DFT-, Wannier- und DMFT-Rechnungen. Für eine wissenschaftliche Abhandlung sollten solche Ressourcen nicht an die Stelle begutachteter Fachliteratur treten. Sie sind jedoch für Literaturrecherche, Reproduzierbarkeit, Modellkonstruktion und die Überprüfung aktueller Forschungsentwicklungen unverzichtbar.Hundsche Kopplung
Spin-Flip-Prozesse
Pair-Hopping
Kanamori-Wechselwirkung
Orbitale Freiheitsgrade und Kristallfeld
Kristallfeldaufspaltung
Orbitalbesetzung
Orbitalpolarisation und Orbitalordnung
Zentrale Energieskalen
Bandbreite und Hopping
Coulomb- und Hund-Energie
Elektronenfüllung
Mott-Physik und Metall-Isolator-Übergänge
Grundidee des Mott-Übergangs
Mott-Physik mit mehreren Orbitalen
Hubbard-Bänder
Orbital-selektiver Mott-Übergang
Grundprinzip
Unterschiedliche Bandbreiten
Rolle der Hundschen Kopplung
Hund-Metalle
Korrelation ohne unmittelbare Mott-Lokalisierung
Unterdrückung orbitaler Fluktuationen
Kohärenzskala
Spin-Freeze-Regime
Magnetismus und Spin-Orbital-Kopplung
Lokale magnetische Momente
Superaustausch
Spin-Orbital-Modelle
Supraleitung im Mehrband-Hubbard-Modell
Mehrere Fermi-Flächen
Intraband- und Interband-Paarung
Spinfluktuationen
Eisen-basierte Supraleiter
Spin-Bahn-Kopplung
Kopplung von Spin und Orbitalbewegung
Konkurrenz mehrerer Energieskalen
Theoretische Lösungsverfahren
Warum das Modell schwer zu lösen ist
Hartree-Fock-Näherung
Störungstheoretische Verfahren
Exakte Diagonalisierung
Quanten-Monte-Carlo
Dynamische Molekularfeldtheorie
Grundidee der DMFT
Lokale Selbstenergie
Mehrorbital-DMFT
Impurity Solver
Verbindung zu realen Materialien
Übergangsmetalloxide
Ruthenate
Eisen-basierte Materialien
Nickelate
DFT, Wannier-Modelle und DFT+DMFT
Von der realen Bandstruktur zum Modell
DFT+U
DFT+DMFT
Bestimmung von U und J
Double-Counting-Problem
Zentrale Observablen
Spektralfunktion
Lokale Zustandsdichte
Quasiteilchengewicht
Effektive Masse
Doppelbesetzung
Spin- und Orbital-Korrelationen
Phasendiagramme
Mehrdimensionale Parameterlandschaft
Schwach korreliertes Metall
Stark korreliertes Metall
Hund-Metall
Mott-Isolator
Orbital-selektiver Mott-Zustand
Geordnete Phasen
Mehrband-Hubbard-Modell in Quantensimulationen
Analoge Quantensimulatoren
Mehrorbital-Zustände
Kontrolle der Wechselwirkung
Grenzen analoger Simulation
Mehrband-Hubbard-Modelle auf Quantencomputern
Fermionische Kodierung
Jordan-Wigner-Transformation
Bravyi-Kitaev-Transformation
Variational Quantum Eigensolver
Quantum Phase Estimation
Potenzieller Quantenvorteil
Grenzen des Mehrband-Hubbard-Modells
Reduktion auf ausgewählte Orbitale
Lokale Wechselwirkung
Elektron-Phonon-Kopplung
Nichtlokale Korrelationen
Modellparameter
Bedeutung für die moderne Quantenphysik
Mehr als eine Erweiterung des Hubbard-Modells
Orbital differenzierte Physik
Verbindung verschiedener Teilgebiete
Bedeutung als Benchmark
Fazit
Anhang
Wissenschaftliche Zeitschriften und Artikel
Grundlegende Primärliteratur zum Hubbard-Modell und zu lokalen Wechselwirkungen
Dynamische Molekularfeldtheorie und Vielteilchenmethoden
Orbital-selektive Mott-Physik
Hund-Kopplung, Hund-Metalle und Spin-Freezing
Mehrorbitalphysik in Eisen-basierten Materialien
Bücher und Monographien
Grundlagen zu Hubbard-Modellen und Quantenmagnetismus
Vielteilchentheorie und Green-Funktionen
Elektronische Struktur und materialrealistische Modellbildung
Vorlesungsnotizen und Monographie-nahe Ressourcen
Online-Ressourcen und Datenbanken
Literaturrecherche und aktuelle Forschung
Fachjournale und Verlage
Lern- und Forschungsplattformen für Vielteilchenphysik
Wannier-Funktionen und effektive Mehrbandmodelle
Elektronische Struktur und Dichtefunktionaltheorie
Materialdaten und elektronische Strukturdatenbanken
